"Регистрация на почте, в МФС - это и есть по частному приглашению".

Это распространенная ошибка )
В российском законодательстве различаются "приглашающая" и "принимающая" стороны.
Для экономии времени приведу фрагмент объяснения на эту тему:

"Независимо от того, по какому документу-основанию получена виза, регистрация по месту пребывания происходит в зависимости от фактического места пребывания (где реально иностранец живет в России).
Никаких штрафов за несовпадение адресов не предусмотрено, иностранец не обязан останавливаться по тому адресу, который был заявлен в анкете на визу. В идеале надо указать в миграционной карте (при прохождении погранконтроля на въезде) тот адрес, по которому потом будет осуществляться регистрация по месту пребывания. Но даже если потом адрес поменяется и иностранец, поехав в гости к одному человеку (или по бизнесвизе), остановится в итоге у другого, это тоже не вызывает никаких отрицательных правовых последствий".

Также добавлю, что в официальных документах-правилах на сайте УФМС (ссылки приводила выше) нет ни слова о ПРИГЛАШАЮЩЕЙ стороне - везде указывается ПРИНИМАЮЩАЯ сторона, поскольку это юридически разные понятия.

Форма, которую надо заполнить на почте, в МФЦ или в отделении ФМС, называется "Уведомление о прибытии иностранного гражданина или лица без гражданства в место пребывания". И здесь тоже ничего не говорится о ПРИГЛАШАЮЩЕЙ стороне, так как это не имеет значения для данного документа.

Попробую приложить данную форму (правда, у меня есть только несколько устаревшая электронная версия: в паре мест формулировки вопросов сейчас немного другие, но суть та же), но файл в формате pdf, оказывается, невозможно прикрепить. Вот скриншот начала этой формы в формате jpg.